Un problema fundamental en ingeniería aeroespacial es describir el movimiento de las naves espaciales. Hay muchas maneras de hacer esto, ya que, por ejemplo, existen sistemas de coordenadas centrados en el sol, que facilitan la descripción de los viajes interplanetarios. Otros sistemas están centrados en la tierra, e incluso se pueden concebir sistemas centrados en la misma nave espacial. Cada sistema tiene sus ventajas y desventajas y, desde luego, conociendo la posición y la velocidad relativa de uno con respecto al otro se pueden realizar transformaciones entre sistemas para que, conociendo la posición y velocidad de la nave en un sistema, podamos representarlas en el otro sistema.
Sistema Inercial Heliotrópico
Un ejemplo de sistema de referencia para la navegación espacial es el Sistema Inercial Heliotrópico, el cual tiene como origen el centro del sol, como ese muestra en la Figura 1. El sistema consta de dos ejes perpendiculares alojados en el plano de la eclíptica, es decir el plano de la órbita de la tierra alrededor del sol, y un eje z perpendicular a los dos anteriores. En este sistema, el eje x se orienta en dirección del equinoccio de primavera en el hemisferio norte, es decir en la dirección entre el centro de la tierra y el centro del sol cuando empieza la primavera (21 de marzo). A esta dirección se le conoce como Primer Punto de Aries y se encuentra aproximadamente donde están las Pléyades. El eje z es perpendicular al plano de la eclíptica y el eje y es perpendicular al x y al z, simultáneamente.
Sistema Inercial Heliotrópico
Un ejemplo de sistema de referencia para la navegación espacial es el Sistema Inercial Heliotrópico, el cual tiene como origen el centro del sol, como ese muestra en la Figura 1. El sistema consta de dos ejes perpendiculares alojados en el plano de la eclíptica, es decir el plano de la órbita de la tierra alrededor del sol, y un eje z perpendicular a los dos anteriores. En este sistema, el eje x se orienta en dirección del equinoccio de primavera en el hemisferio norte, es decir en la dirección entre el centro de la tierra y el centro del sol cuando empieza la primavera (21 de marzo). A esta dirección se le conoce como Primer Punto de Aries y se encuentra aproximadamente donde están las Pléyades. El eje z es perpendicular al plano de la eclíptica y el eje y es perpendicular al x y al z, simultáneamente.
Figura 1. Sistema de Coordenadas Inercial Heliotrópico
Este sistema es útil para describir misiones interplanetarias y resulta útil para visualizar las estaciones del año y sus efectos sobre los satélites que orbitan la tierra como los periodos de eclipse (periodos en que los que el satélite no está iluminado por el sol porque lo oculta la tierra), a los que está sujeto.
Sistema de Coordenadas Inercial Centrado en la Tierra
Otro sistema de referencia importante es el Sistema de Coordenadas Inercial Centrado en la Tierra, (ECI Earth Centered Inertial, por sus siglas en inglés).
El sistema ECI también llamado Coordenadas Celestiales, es muy útil en la descripción del movimiento de satélites que giran alrededor de la tierra. Este sistema tiene su origen en el centro de la tierra y consta de tres ejes perpendiculares entre sí, que permanecen fijos respecto a las estrellas, a excepción del sol.
En este sistema el eje z apunta al polo norte a lo largo del eje de rotación de la tierra. Los otros dos, el x y el y, están en el plano del ecuador y la cuestión es a dónde orientarlos. Al igual que en el sistema inercial heliotrópico, la convención es orientar el eje y en la dirección del equinoccio de primavera en el hemisferio norte. Una vez definidos el eje z y el eje x, el eje y queda definido para un sistema de coordenadas cartesianas tridimensional, como se muestra en la Figura 2.
Sistema de Coordenadas Inercial Centrado en la Tierra
Otro sistema de referencia importante es el Sistema de Coordenadas Inercial Centrado en la Tierra, (ECI Earth Centered Inertial, por sus siglas en inglés).
El sistema ECI también llamado Coordenadas Celestiales, es muy útil en la descripción del movimiento de satélites que giran alrededor de la tierra. Este sistema tiene su origen en el centro de la tierra y consta de tres ejes perpendiculares entre sí, que permanecen fijos respecto a las estrellas, a excepción del sol.
En este sistema el eje z apunta al polo norte a lo largo del eje de rotación de la tierra. Los otros dos, el x y el y, están en el plano del ecuador y la cuestión es a dónde orientarlos. Al igual que en el sistema inercial heliotrópico, la convención es orientar el eje y en la dirección del equinoccio de primavera en el hemisferio norte. Una vez definidos el eje z y el eje x, el eje y queda definido para un sistema de coordenadas cartesianas tridimensional, como se muestra en la Figura 2.
Figura 2. Sistema de Coordenadas Inercial Centrado en la Tierra
Ahora, podemos imaginar una esfera transparente centrada en el origen de este sistema de coordenadas, con todas las otras estrellas distintas del sol fijas a la esfera. Esta es la Esfera Celeste. Si nos colocamos en la parte superior de la esfera y vemos hacia la tierra, entonces la veremos girando de oeste a este ahí abajo. Lo práctico de este sistema de coordenadas es que si ignoramos las perturbaciones causadas por otros astros, y la no esfericidad de la tierra, la órbita de un satélite es una elipse fija. El satélite se mueve alrededor de la elipse, pero la elipse permanece estacionaria respecto al sistema de coordenadas.
Localización de un satélite respecto al sistema ECI
Se requieren 6 variables para describir una órbita elíptica en el espacio de tres dimensiones. Estas variables podrían ser la posición y la velocidad en algún tiempo de referencia. Sin embargo lo común es utilizar lo siguiente:
Dos variables describen el plano y la dirección de rotación: La Ascención Recta del Nodo Ascendente. (AR) y la Inclinación de la Órbita, (IN).
Ascención Recta del Nodo Ascendente (AR)
El nodo ascendente de un satélite es la intersección de su órbita con el plano del ecuador cuando asciende hacia el norte. La Ascensión Recta del Nodo Ascendente (AR) es el ángulo medido en sentido horario (visto desde el polo norte) desde el eje x hasta el nodo ascendente y puede variar entre 0 y 360 grados.
Inclinación de la órbita (IN)
El otro número es el ángulo en grados entre el plano del ecuador y el plano de la órbita y se denomina la Inclinación de la Órbita (IN). Para órbitas progradas (en el sentido de la rotación de la tierra) la inclinación varía entre 0 y 90 grados. Para órbitas retrógradas (en sentido contrario a la rotación de la tierra), la inclinación varía entre 90 y 180 grados. Todas las órbitas que cruzan el polo norte son polares y tienen una inclinación de 90 grados.
Las órbitas con IN= 0 ó IN=180 grados, están en el ecuador. La primera es prograda y la segunda retrógrada.
Los otros 4 valores que describen a la órbita elíptica son: el Argumento del Perigeo (AP), la Excentricidad de la Elipse, e, la Longitud del Semieje Mayor, a, La Anomalía Verdadera (AV). Los cuales se describen a continuación:
Argumento del Perigeo (AP)
Los dos ángulos que hemos visto hasta ahora, la inclinación de la órbita, IN, y la Ascención Recta del Nodo Ascendente (AR), nos fijan el plano de la órbita con respecto a la esfera celeste, sin embargo no nos describen la orientación de esta órbita dentro del plano orbital, ya que el eje mayor de la elipse puede estar apuntando en cualquier dirección.
El parámetro que describe esta orientación se llama Argumento del Perigeo (AP) y es el ángulo entre el nodo ascendente y el perigeo, medido en el plano de la órbita. Este ángulo puede variar entre 0 y 360 grados. El perigeo es el punto de la órbita más cercano a la tierra y se encuentra en el eje mayor de la elipse.
Longitud del semieje mayor (a)
Una vez localizada la orientación de la elipse, el preciso definir sus dimensiones y una de ellas es el semieje mayor. Toda elipse tiene dos ejes de simetría perpendiculares entre sí: el eje mayor y el eje menor. En una órbita satelital, la longitud del semieje mayor, a, es la distancia entre el centro de la elipse y el apogeo o el perigeo.
Excentricidad (e)
La otra dimensión la elipse la podemos describir a través de conocer, por ejemplo, el semieje menor. Sin embargo en términos de parámetros orbitales es más usual describirla a través de la excentricidad. La excentricidad de la órbita está definida como e= (Ra - a)/a como se muestra en la Figura 3 y puede variar desde 0 (órbita circular) hasta 1, órbita parabólica.
Localización de un satélite respecto al sistema ECI
Se requieren 6 variables para describir una órbita elíptica en el espacio de tres dimensiones. Estas variables podrían ser la posición y la velocidad en algún tiempo de referencia. Sin embargo lo común es utilizar lo siguiente:
Dos variables describen el plano y la dirección de rotación: La Ascención Recta del Nodo Ascendente. (AR) y la Inclinación de la Órbita, (IN).
Ascención Recta del Nodo Ascendente (AR)
El nodo ascendente de un satélite es la intersección de su órbita con el plano del ecuador cuando asciende hacia el norte. La Ascensión Recta del Nodo Ascendente (AR) es el ángulo medido en sentido horario (visto desde el polo norte) desde el eje x hasta el nodo ascendente y puede variar entre 0 y 360 grados.
Inclinación de la órbita (IN)
El otro número es el ángulo en grados entre el plano del ecuador y el plano de la órbita y se denomina la Inclinación de la Órbita (IN). Para órbitas progradas (en el sentido de la rotación de la tierra) la inclinación varía entre 0 y 90 grados. Para órbitas retrógradas (en sentido contrario a la rotación de la tierra), la inclinación varía entre 90 y 180 grados. Todas las órbitas que cruzan el polo norte son polares y tienen una inclinación de 90 grados.
Las órbitas con IN= 0 ó IN=180 grados, están en el ecuador. La primera es prograda y la segunda retrógrada.
Los otros 4 valores que describen a la órbita elíptica son: el Argumento del Perigeo (AP), la Excentricidad de la Elipse, e, la Longitud del Semieje Mayor, a, La Anomalía Verdadera (AV). Los cuales se describen a continuación:
Argumento del Perigeo (AP)
Los dos ángulos que hemos visto hasta ahora, la inclinación de la órbita, IN, y la Ascención Recta del Nodo Ascendente (AR), nos fijan el plano de la órbita con respecto a la esfera celeste, sin embargo no nos describen la orientación de esta órbita dentro del plano orbital, ya que el eje mayor de la elipse puede estar apuntando en cualquier dirección.
El parámetro que describe esta orientación se llama Argumento del Perigeo (AP) y es el ángulo entre el nodo ascendente y el perigeo, medido en el plano de la órbita. Este ángulo puede variar entre 0 y 360 grados. El perigeo es el punto de la órbita más cercano a la tierra y se encuentra en el eje mayor de la elipse.
Longitud del semieje mayor (a)
Una vez localizada la orientación de la elipse, el preciso definir sus dimensiones y una de ellas es el semieje mayor. Toda elipse tiene dos ejes de simetría perpendiculares entre sí: el eje mayor y el eje menor. En una órbita satelital, la longitud del semieje mayor, a, es la distancia entre el centro de la elipse y el apogeo o el perigeo.
Excentricidad (e)
La otra dimensión la elipse la podemos describir a través de conocer, por ejemplo, el semieje menor. Sin embargo en términos de parámetros orbitales es más usual describirla a través de la excentricidad. La excentricidad de la órbita está definida como e= (Ra - a)/a como se muestra en la Figura 3 y puede variar desde 0 (órbita circular) hasta 1, órbita parabólica.
Figura 3 Parámetros de una órbita elíptica
Anomalía Verdadera (AV)
Todos los parámetros anteriores nos describen a la elipse que conforma la órbita del satélite de manera estática, es decir su geometría con respecto a la esfera celeste. Lo que nos falta es describir la posición del satélite dentro de la órbita en el momento considerado. Para esto, un parámetro que se utiliza es la Anomalía Verdadera (AV), la cual se define como el ángulo entre la dirección del perigeo y la posición actual del satélite medido desde el foco principal de la elipse de la órbita, es decir el centro de la tierra. La Anomalía Verdadera se mide en el sentido del movimiento del satélite y puede variar entre 0 y 360 grados. El conocimiento de la Anomalía Verdadera y los otros cinco parámetros permite conocer cualquier posición pasada o futura del satélite. La Figura 6 no ilustra la relación entre los 6 parámetros que describen la órbita de un satélite en un sistema de coordenadas Inercial Centrado en la Tierra. Estos parámetros también se llaman elementos keplerianos, en honor a Johanes Kepler.
Todos los parámetros anteriores nos describen a la elipse que conforma la órbita del satélite de manera estática, es decir su geometría con respecto a la esfera celeste. Lo que nos falta es describir la posición del satélite dentro de la órbita en el momento considerado. Para esto, un parámetro que se utiliza es la Anomalía Verdadera (AV), la cual se define como el ángulo entre la dirección del perigeo y la posición actual del satélite medido desde el foco principal de la elipse de la órbita, es decir el centro de la tierra. La Anomalía Verdadera se mide en el sentido del movimiento del satélite y puede variar entre 0 y 360 grados. El conocimiento de la Anomalía Verdadera y los otros cinco parámetros permite conocer cualquier posición pasada o futura del satélite. La Figura 6 no ilustra la relación entre los 6 parámetros que describen la órbita de un satélite en un sistema de coordenadas Inercial Centrado en la Tierra. Estos parámetros también se llaman elementos keplerianos, en honor a Johanes Kepler.
Figura 4 Descripción de una órbita satelital a través de los elementos keplerianos
Para ilustrar el significado de los parámetros anteriores, veamos un ejemplo:
Supongamos que conocemos la siguiente información de un satélite:
AR=270 grados
IN=90 grados
AP= 90 grados
a=7,674.1 Km
e=0.0484
AV= 0 grados
Este satélite posiblemente sea espía o de percepción remota debido a su baja altura, su poca excentricidad y su órbita polar.
Tiempo de paso por el perigeo (tp)
Los 6 parámetros anteriores son suficientes para describir la órbita de un satélite en todo momento. Sin embargo, en algunas ocasiones se puede usar otro parámetro para especificar el punto sobre la órbita en donde se encuentra el satélite en un momento dado, en vez de la Anomalía Verdadera. Este parámetro es el Tiempo de Paso por el Perigeo, tp, el cual, como su nombre lo indica, es un tiempo en el cual el satélite pasó por el punto más cercano a la tierra. Al igual que en el caso de la Anomalía Verdadera, el conocimiento de tp, junto con los otros cinco parámetros orbitales permite calcular la posición del satélite en cualquier instante futuro o pasado. Además, es evidente que el tp es el igual al tiempo en el que AV=0 grados.
Supongamos que conocemos la siguiente información de un satélite:
AR=270 grados
IN=90 grados
AP= 90 grados
a=7,674.1 Km
e=0.0484
AV= 0 grados
Este satélite posiblemente sea espía o de percepción remota debido a su baja altura, su poca excentricidad y su órbita polar.
Tiempo de paso por el perigeo (tp)
Los 6 parámetros anteriores son suficientes para describir la órbita de un satélite en todo momento. Sin embargo, en algunas ocasiones se puede usar otro parámetro para especificar el punto sobre la órbita en donde se encuentra el satélite en un momento dado, en vez de la Anomalía Verdadera. Este parámetro es el Tiempo de Paso por el Perigeo, tp, el cual, como su nombre lo indica, es un tiempo en el cual el satélite pasó por el punto más cercano a la tierra. Al igual que en el caso de la Anomalía Verdadera, el conocimiento de tp, junto con los otros cinco parámetros orbitales permite calcular la posición del satélite en cualquier instante futuro o pasado. Además, es evidente que el tp es el igual al tiempo en el que AV=0 grados.
Traza terrestre
Los 6 parámetros orbitales anteriores nos permiten conocer la posición de un satélite en cualquier momento. Es posición se puede referir a un punto sobre la superficie de la tierra, que resulta de la intersección de la línea entre el origen del sistema de coordenadas y el satélite con la superficie de la tierra. A esta línea se le denomina traza terrestre (ground track en inglés) o punto subsatélite. La traza terrestre se calcula a partir de los 6 parámetros orbitales y la velocidad de rotación de la tierra. La traza terrestre generalmente se representa en un mapamundi bidimensional, como el de la siguiente figura.
La traza terrestre es una herramienta muy útil para visualizar el movimiento del satélite alrededor de la tierra porque nos permite comprender los sitios de influencia del satélite para aplicaciones como comunicaciones y percepción remota. Un ejemplo de esto es la traza mostrada en la siguiente animación:
La cual representa una Órbita Molniya, un tipo de órbita muy excéntrica con los siguientes parámetros:
Período 12 horas;
Altura del apogeo: 39850.5 Km;
Altura del perigeo: 500 Km;
Inclinación 63.3959 grados
Esta órbita se aplica para satélites de comunicaciones dedicados a cubrir zonas específicas de la tierra, debido a su mayor tiempo de permanencia sobre el horizonte respecto a otras.
La simulación tridimensional de esta órbita la podemos ver aquí:
Período 12 horas;
Altura del apogeo: 39850.5 Km;
Altura del perigeo: 500 Km;
Inclinación 63.3959 grados
Esta órbita se aplica para satélites de comunicaciones dedicados a cubrir zonas específicas de la tierra, debido a su mayor tiempo de permanencia sobre el horizonte respecto a otras.
La simulación tridimensional de esta órbita la podemos ver aquí:
Los lectores que se quieran divertir un poco visualizando las órbitas de satélites reales pueden entrar a la página:
http://science.nasa.gov/iSat/?group=SMD
y ver las órbitas y la posición actual de satélites en operación en diferentes formatos.
Los sistemas de referencia para la navegación satelital nos permiten localizar una nave espacial con respecto a un sistema de coordenadas. Hemos visto el Sistema Inercial Heliotrópico, el Sistema Inercial Centrado en la Tierra y la manera de describir órbitas elípticas alrededor de la tierra con respecto a éste último. En ocasiones subsecuentes investigaremos otros sistemas de referencia útiles para otras aplicaciones de navegación espacial así como la manera de transformar coordenadas entre sistemas.
http://science.nasa.gov/iSat/?group=SMD
y ver las órbitas y la posición actual de satélites en operación en diferentes formatos.
Los sistemas de referencia para la navegación satelital nos permiten localizar una nave espacial con respecto a un sistema de coordenadas. Hemos visto el Sistema Inercial Heliotrópico, el Sistema Inercial Centrado en la Tierra y la manera de describir órbitas elípticas alrededor de la tierra con respecto a éste último. En ocasiones subsecuentes investigaremos otros sistemas de referencia útiles para otras aplicaciones de navegación espacial así como la manera de transformar coordenadas entre sistemas.
